De la Fuente Fernández (2016) indica que este modelo permite describir un valor como una función lineal de datos anteriores y errores debidos al azar, puede incluir un componente cíclico o estacional y debe contener todos los elementos necesarios para describir el fenómeno. Los pasos para realizar un modelo ARIMA son: 1) Transformar la serie observada en una serie estacionaria o determinar un modelo ARMA para la serie estacionaria. 2). Estimar los parámetros AR y MA y obtener los errores del modelo. 3) Realizar el diagnóstico en el que se comprueba que los residuos no tienen estructura de dependencia y siguen un proceso de ruido blanco. 4) Una vez obtenido el modelo adecuado se realizan las predicciones. Se define ARIMA como en la ecuación [1], donde Δ^d Y_t= (1-B)^d Y_t es un proceso estacionario, d es un número entero positivo, B es el operador de retardo, {α} es un proceso de ruido blanco con distribución N(0.σ²) y los términos Φ(B)=1-Φ₁ B-Φ₂ B² corresponde a la parte autorregresiva y media móvil, respectivamente.

Brockwell & Davis (2002) consideran que un procedimiento estocástico Z_t es un proceso ARFIMA (p, d, q) si es una solución a la ecuación [2] , donde Φ(B) = 1-Φ₁ B - … - Φ_p B^p y θ(B)=1-θ₁ B...- θ_q B^q son, respectivamente, los polinomios autorregresivos y de medias móviles de orden p y q de un proceso ARMA, cuyos ceros están fuera del círculo unidad y no tienen raíces comunes; d y θ ₀ son números reales; d es llamado el parámetro de diferenciación fraccional; α_t son variables aleatorias no observables independientes e idénticamente distribuidas con media cero y varianza finita σ². Castaño (2016) demostró que si d>-0,5 y todas las raíces de θ(B)=0 caen fuera del círculo unidad, Z_s un proceso invertible; si d<-0,5 y todas las raíces de Φ(B)=0 caen fuera del círculo unidad, Z_t es un proceso estacionario. Por tanto, el proceso ARFIMA (p, d, q) es estacionario e invertible si todas las raíces de θ(B)=0 y Φ(B)=0 caen fuera del círculo unidad y -0,5<d<0,5.

Las redes neuronales son modelos computacionales que imitan las redes de neuronas del cerebro con el fin de emular el comportamiento inteligente (Velásquez & Franco, 2012; Velásquez-H., 2011). Según Flórez (2008), para desarrollar un modelo de red neuronal autorregresivo los rezagos definidos se pueden utilizar como variables de entrada, de la misma manera como se utilizan en los modelos de predicción de autorregresión lineal (Martin & Pineros, 2020). La aplicación de estos modelos se ha definido en cinco etapas: 1) búsqueda de las variables, 2) preparación del conjunto de datos, 3) creación de la red, 4) entrenamiento y 5) validación (Floréz López & Fernández Fernández, 2008). Como se muestra en [3], donde β* es el peso de la conexión de la neurona adaptativa a la neurona de salida, βh es el peso asociado a la conexión entre cada neurona h de la capa oculta y la neurona de salida, ωh respresenta el peso de las conexiones que van de la neurona adaptativa hasta cada neurona h de la oculta, αi,h pesos entre cada entrada i y la neurona h en la capa oculta, H representa el número de neuronas en la capa oculta, p es el número de rezagos considerados y g es la función de activación de las neuronas de procesamiento en la capa oculta.

Castaño (2016) muestra que para ver la adecuación que existe entre la serie real y la estimada se puede utilizar el coeficiente de determinación o el coeficiente de determinación corregido, así como los criterios de Schwartz y de Hannan Quinn. Bielsa (2016) propone el criterio de información de Akaike (AIC, criterio de información corregido (AICc)), ME (mean error), MAE (mean absolute error), MPE (mean percentage error), MAPE (mean absolute porcentage error), MASE (mean absolute porcentage error) y RMSE (root mean squared error).

Al realizar la comparación de diferentes modelos ARIMA para cada país, se observan los modelos seleccionados, que se determinaron por análisis de bondad de ajuste y la significancia de sus coeficientes (tabla 2). De los modelos comparados para Brasil, con base en los criterios RMSE y ME, el modelo ARIMA (3,1,1) presenta los menores valores en este criterio, en comparación con los otros dos modelos estimados.

Tabla 2

Respecto a Colombia, se estimaron los modelos ARIMA (2,1,1), (2,1,4) y (1,1,3), de los cuales se seleccionó el modelo ARIMA (2,1,1), a pesar de que el modelo (2,1,4) presentó valores menores en los criterios RMSE y ME, sus coeficientes M1, AR1 y AR2 presentan valores que dejan de ser significativos a la hora de hacer la selección del mejor modelo que ajuste los datos.

En la siguiente tabla (tabla 3) se observan las estimaciones de los parámetros de los mejores modelos ARFIMA para cada país. Todos los modelos arrojan un parámetro de diferenciación fraccional entre [-0.5 y 0,5], indicando que las series en estudio tienen una dinámica de memoria de largo plazo. En Brasil, por su parte, con la estimación de los modelos ARFIMA (2,0.40,0), (1,0.37,1) y (3,0.45,0) para la selección del modelo con mejor ajuste, se analiza el p-valor de los diversos parámetros en los modelos, estableciendo que el modelo (3,0.45,0) al presentar un p-valor en el parámetro AR1 mayor a 0,05 pierde significancia estadísticamente, a pesar de presentar un valor menor de bondad de ajuste en comparación con los otros dos modelos. El modelo seleccionado (2,0.40,0) presenta un RMSE de 15719.23 y un ME 38.87, lo cual significa que es que menos se desvía de los datos originales.

Tabla 3

Durante la ejecución del modelo de Red Neuronal para cada serie se estableció una cantidad de 30 nodos para la capa oculta, teniendo en cuenta que estas series presentan una temporalidad secuencial diaria. En cada serie se establecieron diez repeticio nes, mostrando un mejor procesamiento al momento de arrojar resultados. Para Brasil se realizaron tres simulaciones con diferentes repeticiones (1,5 y 10), evidenciando que con diez repeticiones esta muestra una red más entrenada y unos datos más precisos en comparación con las otras dos simulaciones.

En lo referente a la varianza de los modelos, Brasil, Perú y México arrojan un σ^2 de proporciones altas, lo que significa que estos países presentan una mayor volatilidad. El único indicador que asume la determinación del ajuste para estos tres países es el MASE, con un valor <1.

Tabla 4

Variable	Modelo	σ 2	Variable	Modelo	σ^2
Argentina	(27,1,7)	50777.00	Ecuador	(14,1,7)	38659.00
Bolivia	(27,1,7)	16849.00	México	(24,1,7)	239431.00
Brasil	(23,1,7)	5946336.00	Paraguay	(27,1,7)	472.70
Chile	(16,1,7)	10493.00	Perú	(21,1,7)	179503.00
Colombia	(16,1,7)	27686.00	Uruguay	(27,1,7)	5767.00

Inicialmente se tomó una muestra de los contagios positivos en Latinoamérica hasta el 15 de septiembre del 2021, a partir de los cuales se desarrolló un entrenamiento de los datos, estimando los modelos que mejor se ajustaran a la serie. Posteriormente, se revisó la eficiencia de los modelos mediante una prueba, con los datos más recientes hasta el 31 de octubre del 2021, analizando sus residuales y la medición de criterios de bondad de ajuste.

Después de ejecutar los modelos ARIMA, ARFIMA y NNAR se compararon los resultados obtenidos de las diez series de tiempo, logrando establecer el modelo que mejor se ajustaba los datos para cada país. En la siguiente tabla (tabla 5) se evidencia que las diez series de tiempo obtuvieron un mejor ajuste con NNAR, con base en los resultados obtenidos de sus residuales. Brasil presenta el valor más alto en el índice RMSE y MAE en los modelos ARIMA y ARFIMA, en comparación con el resto de países. El modelo de NNAR es el de mejor ajuste para esta serie, con índices de RMSE de 1324.07 y MAE de 1324.07, aunque estos dos criterios presentan valores iguales en el caso de Brasil.

Tabla 5

Por su parte, México presenta un comportamiento similar entre ARIMA y ARFIMA, pero para el caso de la medición de los criterios de bondad de ajuste del modelo ARFIMA estos presentan unos índices mayores a los del modelo ARIMA. Al igual que el comportamiento de las demás series, se evidencia que el modelo de NNAR estudia de mejor manera los datos de este país. Verificando los modelos estudiados, se puede concluir que se puede hacer un pronóstico más acertado con el modelo de NNAR.

Al analizar el criterio MASE, se evidencia que el modelo de NNAR presenta índices en las series que se aproximan a 0, en comparación con ARIMA y ARFIMA, que tienen tendencia a 1, demostrando que el modelo de NNAR realiza un ajuste más preciso con la prueba de eficiencia de los modelos. Esto da la certeza de que el modelo de NNAR puede realizar un pronóstico más acertado a la realidad de los casos futuros por Covid-19 en Latinoamérica.