Históricamente, la niñez y adolescencia son considerados un grupo vulnerable en el ámbito educativo, con frecuencia se diseñan e implementan diversos tipos de estrategias pedagógicas para orientar el aprendizaje de determinados tópicos en las ciencias exactas, ingenierías o en las ciencias sociales; por ejemplo, Gabalán y Vásquez (2021) han implementado una propuesta metodológica y didáctica destinada al fomento del aprendizaje de la investigación operativa a través de modelos estadísticos, Munevar, Burbano y Valdivieso (2021) elaboraron una propuesta de tipo pedagógico para mitigar la agregación en el estudiantado a través de la construcción de escenarios pacíficos, Pérez y Ricardo (2021) indagaron sobre ambientes de aprendizaje enriquecidos con TIC, Goncalves et al. (2020) han propuesto el uso de modelos de SDC para la gestión pública escolar, Juárez, Chamoso y González (2020) han incluido los foros virtuales para integrar el modelaje matemático al formar ingenieros, sólo por mencionar algunos.

La modelación matemática se usa en diferentes ámbitos investigativos tales como la enseñanza de las ciencias, las ingenierías, economía y la misma matemática, entre otros; se trata de representar la realidad con diversos propósitos y distintos alcances a fin de matematizar ideas específicas, prácticas cotidianas o determinados procedimientos que involucren datos reales (Villa y Alencar, 2019). En algunos contextos reales, resulta conveniente recurrir a modelos abstractos que incluyen tanto 'variables aleatorias' como deterministas en un proceso secuenciado de actividades tendientes a resolver un problema real (Burbano, Valdivieso y Burbano, 2021). Generalmente, los procesos de aprendizaje estudiantil resultan exitosos cuando en la interacción docente-estudiante se usan distintos modelos de forma didáctica para el micro currículo universitario (Huincahue, Borromeo & Mena, 2018) en tanto que tales modelos podrían crear percepciones y actitudes positivas en el estudiantado en los casos en los que se involucran datos provenientes del contexto real (Özdemir y Üzel, 2012).

Por ejemplo, en diversas circunstancias, las personas se ven avocadas a realizar colas o filas con el fin tener acceso a servicios específicos o adquirir ciertos productos y los administradores han de prever que la prestación de tales servicios se haga en el menor tiempo posible. Una estrategia pedagógica que posibilita optimizar la administración de ciertas LDE, se soporta en la implementación de distribuciones de probabilidad adecuadas para modelar el comportamiento de los sistemas presentes en estos ámbitos (Klimenok et al., 2020; Piratelli, Achcar y Sandrim, 2015). En la vida diaria es común hacer colas pagar en los bancos y las tiendas de abarrotes, entrar al cine o acceder al restaurante para almorzar, entre otros (Vergara, 2019); de manera formal, estos fenómenos de colas que generalmente involucran tiempos de espera se pueden modelar con distribuciones de probabilidad y teoría estadística a fin de optimizar su funcionamiento (Rivera et al., 2024).

Para un SDC, una etapa del modelaje involucra la cuantificación del llamado 'tiempo de espera' del usuario en las colas y del denominado 'tiempo usado durante el servicio', por medio de distintas medidas de eficiencia (Taha, 2011; Lee et al., 2024). Es conveniente mencionar que, una capacidad alta de 'servicios' puede ocasionar costes altos de operación; una forma tangible de conseguir un pertinente equilibrio entre un servicio con calidad y su respectivo costo operacional consiste en elaborar y ejecutar modelos de LDE que sean pertinente (Lazo y Vivanco, 2023). En estas circunstancias, diversos restaurantes universitarios prestan un servicio indispensable al estudiantado, quienes recurren a este servicio subsidiado porque le implica un bajo costo y esperan ser atendidos dentro de la universidad en el menor tiempo posible. En este sentido, la pregunta que guio este trabajo investigativo fue ¿Cuáles modelos probabilísticos pueden ajustarse para representar el SDC correspondiente al restaurant en la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia-UPTC-?

En general un sistema puede describirse, representarse, modelarse o simularse por medio componentes debidamente estructuradas (Flores-Tapia y Flores-Cevallos, 2021); en este escenario, se sugiere implementar una estrategia pedagógica que puede involucrar el siguiente algoritmo: a) observación del SDC b) análisis de la problemática por resolver, c) recolección de datos reales, d) modelización matemática, e) estimación de los parámetros, y f) optimización de los modelos considerados (Burbano et al., 2021). En concreto, los SDC también involucran componentes, entre ellos, clientes, capacidad de operación real y el servicio por prestar; además, pueden modelarse a través de 'variables aleatorias' y distribuciones probabilísticas e incluso simulaciones no deterministas (Sánchez, Sánchez y Gómez, 2024); en esta clase de sistema resulta prioritario establecer la tasa de servicio para determinar un equilibrio entre los costos operativos y los denominados 'tiempos de espera' (Pérez, Márquez y Rosales, 2019).

Según Hess & Grbcic (2019) y Burbano et al. (2021), un SDC puede incluir componentes como: a) usuarios, b) clientes en el SDC, c) usuarios por ser atendidos; ahora si a representa la 'tasa promedio' de llegada, entonces interesa obtener 1/ a llamado 'tiempo medio entre llegas', c) capacidad de operación conformada por uno o más servidores, la cual genera una tasa de servicio, d) si (3 representa la media de clientes atendidos en cada lapso de tiempo, entonces se requiere obtener el 'tiempo esperado de servicio' dado por 1/ (3, e) # de canales (filas), y f) una disciplina para las cola. Siguiendo a Hillier y Lieberman (2010), en una cola, los clientes son la fuente de entrada al sistema, el cual mediante un protocolo atiende al usuario, quien finalmente, abandona el sistema. Para modelar un SDC se ha de estimar un patrón (función probabilística) tanto para describir las llegadas como los servicios efectuados (Buchholz y Kriege, 2017). Generalmente, este tipo de fenómenos inciertos son susceptibles de modelarse con distribuciones probabilísticas específicas (Arikatla, Swamy y Prasad, 2021; Thaha, 2011).

De acuerdo con Horváth (2012), en los SDC frecuentemente se recurre a denotar la estructura del modelo por medio de M/S/C, según Burbano et al. (2021), M hace referencia al modelo probabilístico para estimar las llegadas de clientes, S denota una función probabilística para estimar los servicios y C indica la cantidad de canales. En esta estructura, se sugiere usar funciones probabilísticas como la exponencial, la de Poisson y la de Erlang respectivamente, sin descartar otras como la de Weibull o la Gamma, solo por indicar algunas (Vargas, Causado & Mercado, 2020). En ciertos casos, los SDC por modelar pueden presentar una sola línea de espera (cola) provistos de un solo servidor, los cuales se denotan con M/S/1 tal como se ha observado en la entrada y la baranda interna en el restaurant-UPTC.

Por otra parte, la manera como los usuarios son administrados para prestarles un servicio se denomina disciplina de colas (protocolo); el protocolo más frecuente es el PLPA o disciplina de primer usuario que llega, primero que se atiende (Brugno, Dudin y Manzo, 2018). Otro protocolo privilegia la atención en atender de primero al último cliente que haya llegado, en otro caso, también se puede usar un método aleatorio de atención. Además, según Rovetto et al. (2023), en el modelaje de un SDC, las LDE poder considerarse tanto finitas como infinitas en consonancia con su capacidad instalada (operativa). En un SDC hay dos periodos básicos, en el primero el sistema opera de manera inestable hasta lograr el flujo pertinente de clientes, y en el segundo el sistema se estabiliza con un flujo casi constante; de acuerdo con Mustafá (2020), para el análisis de eficiencia del sistema se aconseja escoger un periodo de tiempo en el cual tal sistema haya alcanzado un estado estable, lo anterior con el fin de determinar ciertas medidas de eficiencia (Brugno et al., 2018).

La teoría de colas ha tenido diversas aplicaciones en distintos ámbitos del quehacer humano y la investigación científica, desde sus orígenes al empezar el siglo pasado, las estrategias de líneas de espera se han constituido en un insumo para la administración de procesos en economía, ingeniería, comunicaciones, informática, la industria y el transporte (D'apice, D'arienzo, Dudin & Manzo, 2023); en el modelaje de eventos aleatorios asociados con las LDE, se ha usado diferentes modelos de probabilidad en dependencia objetivo que se persiga (Ross, 1999; Vargas et al., 2020); sin embargo, en las dos últimos décadas, también se ha decidido trabajar con métodos de simulación tanto de eventos discretos como continuos (Estrada et al., 2019) con el propósito de presentar métodos alternativos a los tradicionales en cuanto al modelaje de SDC tanto nacional como internacional mente.

En seguida, se mencionan variados trabajos realizados en escenarios internacionales que aportaron con elementos analógicos para implementar el presente trabajo. El equipo de Estrada et al. (2019) ha implementado un modelamiento híbrido para un SDC mediante el uso de un algoritmo evolutivo para analizar un sitio de comidas rápidas; Piratelli et al. (2015) analizaron los tiempos entre llegadas de lotes en una industria alimentaria y las modelaron con una distribución de Weibull; Pérez et al. (2019) aplicaron técnicas de investigación de operaciones (LDE) para modelar el trabajo por cuenta propia; diseñaron y analizaron un modelo para gestión de urgencias hospitalarias; Parra y Gallego (1999) elaboran modelos de mercadeo aplicando SDC; Sánchez et al. (2024) efectuaron un modelado para gestionar flujos de pacientes; Pulido et al. (2022) proponen un modelamiento para LDE en servicios portuarios. Lizárraga, Gómez y Paredes (2017) modelan sistemas de LDE para mejorar el servicio en una entidad financiera.

En el contexto colombiano, Gómez, Luna y Ruíz (2018), simulan SDC en un terminal de transportes; Vargas et al. (2020) usaron el modelo Weibull para describir la repartición de refrigerios en la universidad pública del Magdalena; Lazo y Vivanco (2023) evalúan un modelo para mejorar la atención al cliente en un SDC; Arroyo et al. (2014) utilizan diferentes modelos probabilísticos discretos para modelar SDC; además, Vergara (2019) aplica el modelaje de SDC para una biblioteca en una universidad del caribe colombiano. Estos antecedentes aportan elementos para generar una estrategia pedagógica que permita modelizar tanto tiempos de servicio como de espera en el restaurant-UPTC a partir de data real y a su vez sirva de modelo para promover el aprendizaje de la modelización matemática en contextos reales.

Este estudio se fundamentó con elementos propios de un enfoque cuantitativo centrados en una metodología empírico-analítica (Inche et al., 2023), focalizado en modelar el SDC asociado con el acceso al servicio ofrecido por el restaurant-UPTC ubicado en Tunja-Colombia. En este escenario, se emplearon métodos de tipo estadístico para ajustar los datos reales con ciertos modelos no deterministas que permitieron hacer una exploración y descripción sobre los tiempos en la LDE que el estudiantado hacía para entrar al restaurante universitario y los de servicio en la baranda al recibir su pedido. Para los primeros se recurrió al uso de una variable discreta, mientras que para los segundos se usó una de tipo continuo, en días escogidos de modo aleatorio, al medio día, considerando periodos de tiempo de 10 minutos se contó el número de usuarios en la LDE y en la baranda de servicio de dicho restaurante, en el mismo intervalo de tiempo.

En el modelaje se SDC reales, se requiere tener presentes dos directrices (Bon-fante et al., 2020): a) seleccionar un modelo probabilístico adecuado para representar al SDC y establecer algunas medidas de eficiencia, b) elaborar un modelo para tomar decisiones sobre la operación del 'sistema' con base en dichas medidas. En la implementación de la estrategia didáctica tales directrices fueron relevantes puesto que el SDC referido al restaurante fue explorado cuando estuvo en servicio pleno; en estas circunstancias, se determinó un tamaño muestral constituido por 100 periodos de tiempo tanto para las llegadas a la puerta del restaurante como para las salidas de la baranda, esta muestra se asoció con una población indefinida de periodos temporales durante los días de funcionamiento del mencionado restaurante.

En el modelado del SDC como estrategia pedagógica, involucró las siguientes fases: a) orientaciones al estudiantado que voluntariamente estaba dispuesto a aprehender aspectos inherentes con el modelado de fenómenos inciertos, b) observación y registro cuidadoso de los datos en una 'rejilla' construida para tal fin, allí se involucró un grupo constituido por 15 estudiantes a quienes se acompañó permanentemente con la asesoría de los tres investigadores, c) observación de la parte operativa de la construcción de modelos (Trejo, Lara & Flores, 2022), así: I) depuración de datos y ajuste de modelos (Poisson y exponenciales), II) proceso para estimar 'parámetros' con los datos reales, III) estructuración de los modelos, IV) usar los modelos obtenidos para efectuar algunos pronósticos y establecer la eficiencia del SDC, d) reflexionar sobre la vida del SDC y los aprendizajes para el estudiantado.

Puesto que los modelos propuestos no son los únicos en el modelaje del SDC y puede existir incertidumbre en las llegadas a la LDE (Piratelli et al., 2015), los resultados provenientes de cada modelo describieron de manera aproximada el comportamiento del SDC referido al restaurante estudiantil y posibilitaron la formulación de inferencias respecto a eventos relacionados con los arribos a la LDE y los servicios en la baranda en horarios y días semejantes. Estos obstáculos son recurrentes en el modelamiento de SDC y pueden atribuirse a diversos factores, entre ellos a la construcción de modelos poco flexibles que simulan la realidad de forma parcializada pero que se pueden superar con el refinamiento de los mismos (Brugno et al., 2018; Taha, 2011).

El análisis de la data fue elaborado por medio del paquete R (Burbano et al., 2021), el cual ha posibilitado la exploración de la data y el reporte de valores de tanto de medidas descriptivas como probabilidades inherentes a este tipo de trabajo. Los datos fueron recogidos en los meses tanto de marzo como de abril de 2023 y utilizados con propósitos pedagógicos e investigativos de acuerdo con la Ley de Habeas data. El restaurante estudiantil correspondiente al SDC objeto de estudio es una edificación amplia de una sola planta, ésta dispone de la infraestructura requerida para servir a por lo menos 3000 individuos por día; la información que aquí se ha analizado fue recopilada en los horarios del medio día, de 11:45 am. Hasta las 2:45 pm.

Los resultados de este trabajo investigativo se han estructurado en tres subsecciones, en la primera se presentan los hallazgos correspondientes a las llegadas a la cola del restaurante; en la segunda, se describen los resultados relacionados con la salida de los estudiantes de la baranda, una vez recibieron su almuerzo, y en la tercera, se resumen algunas medidas de eficiencia.

En este trabajo, se ha alcanzado el objetivo de modelizar el SDC del restaurant-UPTC-Tunja a través de MDPP tanto para la data perteneciente a X como para la de Y, con valores específicos para los parámetros y βu respectivamente; según Hess & Grbcic (2019) y Harris & Gross (2014), tales parámetros a su vez forman parte de los modelos exponenciales que, representaron la 'tasa media de arribos y de servicio' respectivamente y posibilitaron la obtención de algunas medidas de eficiencia asociadas con sus parámetros; además, se logró determinar que el mencionado SDC se ajustó a la estructura M/S/1. Además, la interacción estudiante-investigadores ha generado procesos de cognición percibidos como novedosos y exitosos por parte del grupo de estudiantes voluntarios que participaron activamente en esta experiencia, apreciaciones que concuerdan con lo expuesto por Huincahue et al. (2018).

En consecuencia, se deduce de forma analítica que, en promedio, aproximadamente 529 personas (usuarios) fueron servidos por hora en el SDC del restaurante, quienes fueron atendidos de manera adecuada en la baranda del restaurante desde las 11:45 am y las 2:45 pm. en días para los cuales la UPTC presentó desarrollos académicos normales para sus estudiantes. La observación directa sobre el SDC permitió determinar que, había franjas horarias con superior grado de afluencia de estudiantes dirigiéndose al lugar físico donde está ubicado el restaurante y el flujo de personas variaba con las necesidades estudiantiles; sin embargo, de forma general se apreciaba una relativa uniformidad en la operación del SDC, aspectos que también coinciden con lo mencionado en Hillier y Lieberman (2010).

En este punto, el grupo estudiantil de colaboradores, al realizar la aritmética respectiva pudo deducir que, el restaurante presentaba una eficiencia del 90.64% y al estar operando por tres horas aproximadamente en la franja del medio día, potencialmente atendería a 1587 personas en esa franja, además, serían 7935 a la semana y probablemente se pronosticarían unos 15870 al agregar la atención del estudiantado perteneciente a la jornada nocturna. Estos resultados presentan una considerable concordancia con los hallazgos reportados por Vergara (2019) y Bonfante et al. (2020) para SDC con ciertas semejanzas, pero contrastan con los de Hess & Grbcic (2019) y Kazakov, Lempert & Zharkov (2024). En cuanto a los valores de las medidas de eficiencia obtenidas, éstos resultados fueron levemente inferiores a los reportados por Estrada et al. (2019) quienes obtuvieron niveles relativamente superiores para el caso de un local de comidas rápidas y a los resultados presentados por Piratelli et al. (2015) cuyo modelaje se hizo a través de distribuciones Weibull.

Por otra parte, la estrategia pedagógica implementada en este trabajo ha incluido procesos y procedimientos que han despertado el interés por la investigación formativa en el grupo de estudiantes colaboradores, quienes han apropiado tanto elementos teóricos como prácticos para modelar SDC a partir de la data proveniente de un contexto real donde frecuentemente acuden para almorzar; frente a esta experiencia han manifestado estar satisfechos por aprehender que los fenómenos de tipo aleatorio son susceptibles de ser representados analíticamente a través de modelos no deterministas específicos, en el sentido expuesto por Gabalán y Vázquez (2021), por ejemplo MDPP y exponenciales solo por indicar algunos. Semejantes efectos se han logrado al aplicar las estrategias expuestas por Goncalves et al. (2020), Chamoso y González (2020) o Pérez y Ricardo (2021).

Para modelizar de forma analítica el SDC referido al restaurante ubicado en la UPTC-Tunja, son adecuados los MDPP y exponenciales. Por lo tanto, se concluye que, los mencionados modelos de corte probabilístico son pertinentes para describir tal sistema; asimismo, se ha establecido que éstos forman parte de la estrategia pedagógica implementada; sin embargo, no son los únicos y podrían plantearse otros de forma alternativa.

Con base en los hallazgos, también se concluye que, el modelaje del sistema de colas del restaurante incluyó componentes aleatorios representados con M/S/1, el sistema se encontraba funcionando de forma estable, las medidas de eficiencia evidenciaron que, la tasa media de arribos está entorno a los 80 estudiantes por cada periodo de diez minutos, la tasa media de servicio fue de 88 usuarios para el mismo periodo temporal, el tiempo de espera de los usuarios en la LDE puede considerarse pequeño, el tiempo de servicio fue adecuado, el SDC resultó bastante eficiente, presenta un alto porcentaje (90.64%) de usos por parte del estudiantado; no obstante, las medidas de eficiencias reflejan que aún puede optimizarse.

En este contexto, se recomienda implementar esta estrategia pedagógica para modelar otros sistemas en contextos reales semejantes. Además, este trabajo investigativo también posibilita proyectar otras investigaciones futuras focalizadas en: i) modelizar otras LDE usando modelos no deterministas alternativos, ii) incrementar el uso de estrategias centradas en el modelamiento de fenómenos que se caractericen por presentar incertidumbre, iii) incluir grupos más numerosos de estudiantes interesados en incursionar en procesos semejantes de investigación formativa, entre otros.