Las plataformas robóticas son dispositivos que, en su mayoría, están compuestos por dos ruedas posicionadas sobre el mismo eje de rotación, controladas de manera independiente para generar la velocidad de avance y la velocidad angular (Figura 1) [8]. De esta forma, los modelos que mejor describen la dinámica de las plataformas robóticas de tipo diferencial están basados en dos componentes fundamentales: el primero se centra en la cinemática de la plataforma robótica (Figura 1), el segundo corresponde a los sistemas mecánico y eléctrico del motor (Figura 2). En este caso, la cinemática se modeló a partir del sistema de ecuaciones 1 y 2 [8].

Figura 1

Ecuación 1

Ecuación 2

Donde r es el radio de las ruedas, l la longitud entre las ruedas, u 1 velocidad de avance lineal y u 2 velocidad angular [10], [11]. El componente del sistema eléctrico y mecánico del motor se presenta en la ecuación 3 [11].

Figura 2

Ecuación 3

Donde la constante de velocidad k w es una aproximación de la división del voltaje inducido Vf em y frecuencia angular ω , la constante de par k i es una aproximación de la corriente de lazo i sobre el par mecánico generado en el eje τ , L es la inductancia, R la resistencia, t m el tiempo mecánico constante, B m el coeficiente de fricción viscosa y J m la inercia del rotor del motor [11], [12].

Esta estrategia se basa en dos lazos: el interno corresponde al control de posición y el externo al control de velocidad (Figura 3) [9], [13]. El primero da como resultado una señal de referencia de velocidad angular R w = [r 1 w r 2 w ] T , produciendo un campo potencial eléctrico u w sobre los actuadores en el lazo externo. El problema de control al cual se le quiere dar solución está dado por una trayectoria deseada ( x 1* , x 2* ), que requiere una señal de control u w = [u 1 w u 2 w ] T , donde u 1 w corresponde a la velocidad lineal y u 2 w a la velocidad rotacional del dispositivo.

Figura 3

Para generar la trayectoria se optó por el método determinístico de campos potenciales artificiales, debido a que cuenta con cualidades como la generación de trayectorias suaves y su facilidad para crear un acople con el sistema de control. En esta estrategia de planificación se debe tener en cuenta que el robot se considera una partícula puntual en un campo de potencia artificial. Se debe configurar de tal manera que el robot pueda experimentar una atracción hacia el punto final y repulsión hacia los obstáculos que se le presenten. Sin embargo, no se puede olvidar que es posible caer en una trampa de mínimos locales, lo que podría impedir que el robot logre su objetivo [9], [26].

Los indicadores utilizados en este documento se basan en la integral del error, con el fin de obtener una medida cuantitativa del desempeño de cada caso de control presentado. Los índices empleados son la integral del valor absoluto del error (IAE) (ecuación 18), la integral del valor absoluto ponderado en el tiempo (ITAE) (ecuación 19), la integral del error cuadrático (ISE) (ecuación 20) y la integral del error cuadrático ponderado en el tiempo (ITSE) (ecuación 21), ya que permite exponer el error de la trayectoria recorrida respecto a la posición de referencia en términos absolutos y en unidades medibles en metros [7], [27].

Ecuación 18

Ecuación 19

Ecuación 20

Ecuación 21

Para comparar la robustez entre los casos de control, se plantea una perturbación externa a la salida del lazo interno (Figura 7), con el fin de emular el comportamiento de la plataforma frente a cambios angulares del eje z, alterando las velocidades en los rotores.

Figura 7

Otros parámetros con los que se busca evaluar la robustez del sistema se basan en la variación endógena y en el diseño de la plataforma robótica, proponiendo una alteración en el radio de las ruedas y la longitud entre ellas, del -10, -30, -50, 10, 30 y 50% respecto al valor de diseño, manteniendo la perturbación exógena y analizando el consumo energético en cada rotor, de acuerdo con la trayectoria planteada.

Para validar el consumo energético en el lazo interno se diseñó un circuito en Matlab con la librería de Simscape, de la herramienta de Simulink (Figura 8), en el que se analiza el consumo de la potencia media de los motores durante los recorridos planteados. Este cálculo se realiza mediante la ecuación 22, que representa el consumo en unidades de watios segundo [5], [6].

Ecuación 22

Figura 8

Párrafo 4.1

Tabla 2

Para la asignación paramétrica del caso 2 se hizo uso de la herramienta de PID Tuner app, contenida en el software Matlab. Sus valores se presentan a continuación (Tabla 3).

Tabla 3

La sintonización de los casos de control presentados está direccionada para cumplir un requisito, que consiste en asegurar que ambos tengan el mismo ancho de banda para poder compararlos posteriormente de manera energética, lo cual se consigue a partir de la linealización del sistema y se demuestra con un diagrama de Bode (Figura 9).

Figura 9

Figura 10

El análisis propuesto en las Figuras 10 y 11 se plantea con el fin de comparar la robustez de ambas estrategias de control, realizando una variación porcentual en los valores que componen el modelo del motor CD, expuesto en la ecuación 3. Los sistemas se alimentaron con una señal de entrada tipo paso, dando como resultado múltiples respuestas en un rango de frecuencia variado, en el que no se identifican altas resonancias, lo cual demuestra la estabilidad de los sistemas en la mayoría de los casos presentados gracias a la implementación de los controladores propuestos.

Figura 11

La generación de la trayectoria se ajustó a un polinomio de quinto orden con las características expuestas en la Figura 12 y que se proponen a continuación (Tabla 4)

Tabla 4

Figura 12

Como se puede identificar en la Figura 12, la plataforma diferencial completó el recorrido en ambos casos sin presentar una alteración significativa. Para este escenario se presentaron los siguientes índices de desempeño (Tablas 5 y 6).

Tabla 5

Tabla 6

En las tablas anteriores se puede identificar que el caso 1 tiene una mayor robustez, demostrando índices de desempeño favorables frente al otro escenario. No obstante, los consumos energéticos demuestran lo contrario, siendo un consumo aproximadamente cien veces mayor a los obtenidos en el caso 2.

Figura 13

Como se puede identificar en la anterior figura (Figura 13), las señales de control en los lazos de posición están identificadas como ru 1 y ru 2 , y en el de velocidad como u 1 y u 2 . En el caso 1 (GPI-ADRC), el comportamiento de la velocidad lineal y la velocidad rotacional demuestra que el lazo de velocidad busca mantener una señal constante frente a la proporcionada por el lazo de posición, sin alterar la velocidad requerida para cumplir el objetivo. En el caso 2 (PID-PID), el comportamiento de la velocidad lineal busca dar un mayor seguimiento a la velocidad rotacional; sin embargo, el lazo de velocidad presenta unos sobrepicos que se logran estabilizar cuando la plataforma robótica encuentra la referencia.

A continuación, se presentan los consumos energéticos expresados en vatios segundo (Ws), junto a las dimensiones de la plataforma robótica expresadas en metros (m) y los anchos de banda de cada par de controladores expresado en rad/s (Tabla 7). Adicionalmente, se muestra un caso de control con las mismas características del primero, sólo que con una modificación en el ancho de banda.

Tabla 7

Estos resultados evidencian el consumo de la potencia media, demostrando que supera las incertidumbres paramétricas propuestas, lo que brinda un amplio rango para la variación de parámetros en el diseño de la plataforma. Además, demuestran que el consumo no tiene una variación significativa en los escenarios propuestos. Estas pruebas se expusieron en la misma perturbación utilizada, evidenciando la estabilidad en el recorrido de la trayectoria con variaciones poco significativas.

Durante la investigación se estableció que el primer caso (GPI-ADRC) presenta un amplio rango en su sintonización por medio del ancho de banda, demostrando que al disminuirla se obtienen mejores índices de energía sin afectar la estabilidad del sistema, mientras que en el segundo caso (PID-PID) el ancho de banda no presenta un rango tan amplio, lo cual impide llevarlo a un valor inferior o superior, dado que el sistema se tornaba inestable.