El plan de pensiones se estableció para atender y administrar los ingresos de vejez de todos los jubilados. Hay dos tipos de planes de pensiones; estos incluyen el plan de beneficios definidos (DB) y el plan de contribuciones definidas (DC). En un plan DC, los miembros remiten un porcentaje de sus ingresos según lo ordena la ley a su cuenta de ahorros para el retiro (RSA) y estos fondos son administrados por las administradoras de fondos de pensiones (PFA) con el objetivo de maximizar los retornos esperados de los miembros. En inversión, las AFP necesitan saber cómo se realizan las inversiones en diferentes activos ya que la mayoría de los activos en el mercado son altamente volátiles debido a su naturaleza aleatoria; Estos activos incluyen efectivo, bonos, acciones, préstamos, etc. Esta incertidumbre en el mercado provocada por los comportamientos aleatorios de estos activos ha llevado al estudio del plan de control óptimo que brinda una guía sobre cómo los expertos / instituciones financieras pueden combinar diferentes activos a la vez para lograr un resultado óptimo con un riesgo mínimo. Teniendo en cuenta lo anterior mencionado, varios autores se han estudiado un plan de inversión óptimo en diversas condiciones; algunos de los cuales incluyen [1], [2], [3], estudiaron problemas de inversión óptima bajo un modelo de elasticidad de varianza constante utilizando el método legendario o de transformación de potencia para resolver los problemas de optimización. [4], [5], [6], estudió los problemas óptimos de inversión con tipos de interés afines. algunos de los cuales incluyen [1-3], estudiaron problemas de inversión óptima bajo un modelo de elasticidad de varianza constante utilizando el método legendario o de transformación de potencia para resolver los problemas de optimización. [4], [5], [6], estudió los problemas óptimos de inversión con tipos de interés afines. algunos de los cuales incluyen [1]- [3], estudiaron problemas de inversión óptima bajo un modelo de elasticidad de varianza constante utilizando el método legendario o de transformación de potencia para resolver los problemas de optimización. [4]- [6], estudió los problemas óptimos de inversión con tipos de interés afines.

Desde el punto de vista de la función objetivo, existen diferentes tipos de funciones de utilidad que se utilizan para resolver problemas de optimización; Incluyen funciones de utilidad que exhiben constante aversión relativa al riesgo (CRRA); ejemplo[5,7], la función de utilidad que utiliza las funciones de utilidad logarítmica y de potencia exhiben constante aversión absoluta al riesgo (CARA); ejemplo de utilidad exponencial fueron utilizados por [8].La utilidad de varianza media fue desarrollada por primera vez por Markowitz para investigar problemas de selección de cartera óptima [9], pero el problema es que el plan de inversión óptimo bajo la utilidad de varianza media no es consistente en el tiempo, ya que la función de utilidad de varianza media no tiene la condición de expectativa, por lo que la condición de optimalidad de Bellman no se cumple. Sin embargo, en muchas situaciones la coherencia temporal de las estrategias es un requisito básico para los tomadores de decisiones racionales. [10] estudió la teoría general de los problemas de control estocásticos inconsistentes en el tiempo de Markov. El estudio del plan de inversión óptimo con devolución de contribuciones ha tomado un lugar central ya que los miembros posiblemente pueden morir durante la fase de acumulación; [13] Estudió el mismo problema anterior tanto para la fase de acumulación como para la de distribución con el precio del activo de riesgo modelado por Modelo de volatilidad de Heston. La gestión estratégica óptima de la cartera para un plan de pensiones de CD con cláusula de devolución fue estudiada por [14], en este trabajo; consideraron la inversión en un activo libre de riesgo y dos activos riesgosos, lo que era una extensión del trabajo de [12,15] investigó las estrategias de inversión con cláusula de rentabilidad bajo riesgo de inflación y riesgo de volatilidad; consideraron la inversión en un activo libre de riesgo, el bono de índice de inflación y las acciones cuyo precio fue modelado por la volatilidad de Heston. [21] Estudió de la estrategia de inversión de equilibrio para el plan de pensiones de CD con cláusulas de riesgo de incumplimiento y devolución de primas bajo el modelo (CEV); consideraron inversiones en tesorería, acciones y bonos. En toda la literatura anterior, los autores asumieron que las acumulaciones devueltas no tienen ningún tipo de interés. Recientemente, algunos autores han estudiado los estudios de devolución de contribuciones con interés predeterminado; en su trabajo, asumieron que no solo se devolverá la prima acumulada a los familiares, sino con intereses de inversión en activos libres de riesgo predeterminados al inicio de la inversión. Incluyen [16], donde investigó un plan de control óptimo en un plan de CD con un activo libre de riesgo y otro con riesgo cuando las contribuciones de retorno tenían un interés predeterminado y [17] estudió la estrategia óptima de asignación de activos para un sistema de pensiones de CD con devolución de contribuciones con intereses predeterminados bajo el modelo de volatilidad de Heston. Dado que el proceso de precio del activo libre de riesgo es determinista y la tasa de interés está predeterminada, es posible determinar el interés pagado a la familia de cada miembro fallecido en cada momento durante la fase de acumulación. Esta forma la base de este papel, donde vamos a complementar lo estudiado e Investigado por [11], el cual mostraron algunas maximizaciones de cartera el cual mostraron cómo administrar una cartera que consta de tres activos cuya cláusula de devolución es con un interés predeterminado y el proceso de precio de los dos activos de riesgo modelados por el movimiento browniano geométrico.

En esta sección se mostrará el problema de control optimo, el problema de optimización y utilidad de varianza media. Así como también se muestra un análisis teórico y un modelo de simulación teniendo en cuenta los resultados obtenidos.

Iniciaremos abordando el problema de control optimo, suponga que el mercado está compuesto por efectivo, acciones y préstamos y un espacio de probabilidad completo denotado como donde es un espacio de probabilidad real, una medida de probabilidad que satisface la condición 0. son movimientos brownianos estándar y es la filtración la que representa la información disponible proporcionada por los movimientos brownianos. Suponga que el mercado está completo, sin fricciones y abierto continuamente durante un tiempo fijo. 0, donde 𝑇 es la edad de jubilación.

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Demostración

Los detalles de la prueba se pueden encontrar en [8], [12] y [19].

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Teniendo en cuenta la proposición 1, podemos determinar que el plan de control óptimo para los activos de riesgo para el caso en el que el retorno de la cláusula es con un interés predeterminado es mayor en comparación con el caso en el que la cláusula de retorno no tiene un interés predeterminado. Esto se debe a que cuando las contribuciones devueltas tienen un interés predeterminado; el fondo restante en el sistema de pensiones es menor en comparación con cuando el rendimiento es sin intereses predeterminados. Además, una observación cuidadosa de la figura 1, muestra que una disminución en la riqueza conduce a un aumento en el plan de control óptimo para los activos de riesgo y una disminución en el plan de control óptimo del activo libre de riesgo. Esto muestra que tanto el análisis numérico como el teórico se confirman mutuamente.

De las figuras 2 y 3, el plan de control óptimo de efectivo es directamente proporcional tanto al coeficiente de aversión al riesgo del afiliado como a la tasa de interés predeterminada del activo libre de riesgo; esto implica que cuando la tasa de interés libre de riesgo es alta, el administrador del fondo aumentará su inversión en activos libres de riesgo mientras reduce la inversión en activos de riesgo y viceversa. Del mismo modo, si los miembros tienen un alto coeficiente de aversión al riesgo, invertirán más en activos libres de riesgo y viceversa. En las Figuras 4 y 7, observamos que el plan de control óptimo de los activos de riesgo es inversamente proporcional al nivel de aversión al riesgo de los miembros; esto implica que un inversor con alto nivel de aversión al riesgo invertirá menos en acciones y préstamos y viceversa a medida que se acerque la edad de jubilación. Las figuras 5 y 6 muestran que los planes de control óptimos de los activos de riesgo son inversamente proporcionales al interés predeterminado; es decir, a medida que aumenta la tasa de interés predeterminada, hay una disminución en las inversiones en acciones y préstamos.

La idea principal de este articulo era tomar los resultados obtenidos por (mathlab) y (colocar otros) y plasmar la importancia de maximizar los portafolios de inversión para obtener una mayor rentabilidad en las contribuciones, para esto se estudió el plan de control óptimo para un afiliado en un plan DC con o sin cláusula de devolución de aportes con tasa de interés predeterminada. Se desarrolló un problema de control óptimo estocástico de varianza media en tiempo continúo utilizando el símbolo actuarial. Se consideró que las inversiones en efectivo, capital y préstamos aumentaban los fondos acumulados restantes para los miembros sobrevivientes. Se obtuvo un problema de optimización de las ecuaciones extendidas de Hamilton Jacobi Bellman utilizando el enfoque de la teoría de juegos y la función de utilidad de la varianza media. Resolviendo el problema de optimización, se encontraron algunas soluciones de forma cercana a los planes de control óptimo para los tres activos y la frontera eficiente de los afiliados. Además, se realizó una simulación numérica de los planes de control óptimos de los tres activos con respecto al tiempo. Finalmente, al comparar teóricamente los planes óptimos de control cuya devolución de aportes están con o sin intereses y observar que el plan del control óptimo de los activos de riesgo es inversamente proporcional al nivel de aversión al riesgo y tasa de interés predeterminado.

Los autores declaramos que no tenemos ningún conflicto de interés.