Un modelo matemático es una expresión que describe las características esenciales de un sistema físico o de un proceso. Por lo general, se representa mediante una función de la forma: variable dependiente = f (variables independientes, parámetros, funciones de fuerza).

Los modelos utilizados en la investigación se observan en la Tabla 1.Estos describen el comportamiento de la pandemia teniendo en cuenta que en otros países donde se presentaron los efectos del Covid primero que en Colombia esta ha demostrado ser una curva ascendente en el comienzo con un comportamiento exponencial y, al presentar un pico, desciende de la misma forma [4].

Tabla 1

El modelamiento matemático consiste en tomar una serie de datos de un sistema, fenómeno físico o proceso y ajustar una curva (exponencial, gaussiana, logarítmica, etc.) que describa dicho comportamiento de manera aproximada. Es común que los datos se den como valores discretos a lo largo de un continuo. Sin embargo, quizá se requiera la estimación de un punto entre valores discretos. Una manera de hacerlo es calcular valores de la función en un número discreto de valores en el intervalo de interés. Después, se obtiene una función más simple para ajustar dichos valores. Estas dos aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

Existen dos métodos generales para el ajuste de curvas que se distinguen entre sí al considerar la cantidad de error asociado con los datos. Primero, si los datos exhiben un grado significativo de error o “ruido”, la estrategia será obtener una sola curva que represente la tendencia general de los datos. Dado que cualquier dato individual puede ser incorrecto, no se busca intersecar todos los puntos. En lugar de esto, se construye una curva que siga la tendencia de los puntos tomados como un grupo. Un procedimiento de este tipo se denomina “regresión por mínimos cuadrados”.

En la Figura 1 se pueden observar tres diferentes ajustes de curva a 10 puntos.

Figura 1

Se conoce como coeficiente de determinación r cuadrado (r 2 ). Es una proporción que evidencia la exactitud del ajuste de un modelo a la variable que pretende explicar. Varía entre 0 y 1. Cuanto más cerca de 1 se sitúe su valor, mayor será el ajuste del modelo y cuanto más cerca de cero menos ajustado estará el modelo y menos acertado será.

El r cuadrado ajustado (o coeficiente de determinación ajustado) se utiliza para evidenciar el nivel de efectividad que tienen las variables independientes al explicar la variable dependiente. Este coeficiente nos dice qué porcentaje de variación de la variable dependiente es explicado colectivamente por todas las variables independientes.

Se usa porque al añadir variables a una regresión el coeficiente de determinación sin ajustar tiende a aumentar, aunque la contribución de cada una de las nuevas variables añadidas no tenga relevancia estadística y se puede sobreestimar el modelo [20].

Se realizaron cuatro modelos de contagios, cuatro modelos de recuperados y cuatro modelos de fallecidos de los meses de marzo y abril. Asimismo, se ajustaron curvas de pronóstico para predecir el comportamiento del Covid-19 en mayo y se compararon los resultados con el comportamiento real de la pandemia.

Se realizaron cuatro modelos de contagios, cuatro modelos de recuperados y cuatro modelos de fallecidos de los meses de marzo a julio y se ajustaron curvas de pronóstico para predecir el comportamiento del Covid-19 en agosto, así como se compararon los resultados con el comportamiento real de la pandemia.

Finalmente, se realizaron dos modelos gaussianos con los datos de marzo a agosto teniendo en cuenta que el Gobierno colombiano inició una etapa de aislamiento preventivo [21]. Un modelo pronostica aumento de contagios y el otro mitigación. Se ajustaron curvas de pronóstico y se realizaron predicciones para septiembre.

En la Figura 6 se pueden observar las curvas de pronóstico para contagios, en la Figura 7 para recuperados y en la Figura 8 para fallecidos después de hacer el ajuste a mayo.

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Las gráficas evidencian que el modelo más acertado en contagios y recuperados fue el exponencial, mientras que para fallecidos fue el potencial. Esto se puede ver en la Tabla 6, en la cual se muestran los errores para el pronóstico de contagios, recuperados y fallecidos acumulados para el 31 de mayo.

Tabla 6

En la Figura 9 se puede observar las curvas de pronóstico para contagios, en la Figura 10 para recuperados y en la Figura 11 para fallecidos después de hacer el ajuste a agosto.

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Las gráficas evidencian que el modelo más acertado en contagios y fallecidos fue el gaussiano, y para recuperados el polinómico. Esto se puede ver en la Tabla 7, en la que se muestran los errores para el pronóstico de contagios, recuperados y fallecidos acumulados para el 31 de agosto.

Tabla 7

En la Figura 12 se pueden observar las curvas de pronóstico para contagios, en la Figura 13 para recuperados y en la Figura 14 para fallecidos después de hacer el ajuste y pronosticar el comportamiento de la pandemia en septiembre.

Figura 12

Figura 13

Figura 14

En las gráficas anteriores se observa el comportamiento real de la pandemia en color naranja y dos modelamientos gaussianos que permiten pronosticar dos comportamientos diferentes para septiembre. Un pronóstico de un posible aumento de contagios y un pronóstico de una posible mitigación de la pandemia.

En la Tabla 8 se observan algunos pronósticos para fechas específicas del mes de septiembre.

Tabla 8