Las acciones de PM están orientadas a mejorar el desempeño de los elementos y del sistema como un todo. En el PM, todos los componentes se inspeccionan en n intervalos de igual duración, y para cada inspección hay algún tipo acción de mantenimiento, considerando el deterioro del elemento y su grado de importancia en el desempeño del sistema. Cada acción de mantenimiento tiene sus requisitos de costos y recursos, y su efecto sobre el desempeño del elemento. En este trabajo, se considera que las acciones mejoran la confiabilidad de los elementos y pueden ser, de acuerdo con el modelo de [1], [6], de tres tipos:

• Tipo 1: este reduce la velocidad de degradación del componente y hace hincapié en mantener el equipo operando. Por lo general, está referido a acciones de mantenimiento simples, como lubricación, ajuste, limpieza y ajuste de aditivos (aceite, agua, otros). La reducción de la degradación del elemento se modela según un factor de mejora del mantenimiento (0 < m1 ≤ 1).

• Tipo 2: esta acción se emplea principalmente para remplazar algunas piezas simples. Ejemplos de este tipo de mantenimiento pueden ser las reparaciones, el desmontaje y el montaje de partes; los tratamientos de las partes móviles, y las calibraciones. En general, esta acción mejora la confiabilidad del elemento, pero no a un estado completamente como nuevo. Se puede cuantificar mediante el factor de mejora m2 (0 < m2 ≤ 1), que representa el nivel al que es restaurado el componente.

• Tipo 3: en este caso se restaura el componente a su condición original (como nuevo) y es un caso particular de los tipos de mantenimientos anteriores en los que m1 = m2 = 1. Por lo general, implica el remplazo de componentes principales con nuevas piezas. Normalmente, se realiza en los componentes clave, para evitar la falla del sistema.

De acuerdo con [6], para un componente dado con tiempo de falla modelado por una distribución de Weibull, las expresiones de la confiabilidad, considerando las políticas de mantenimiento, se pueden determinar como:

Ecuación 1

Ecuación 2

Donde:

β, σ son factores de forma y escala de la distribución Weibull.

tp es el intervalo de tiempo entre inspecciones de mantenimiento.

R_(i,0,n) es la confiabilidad del elemento i al inicio del periodo n de inspección.

R_(i,f,n-1) es la confiabilidad del elemento i al final del periodo n − 1 de inspección.

R_(i,n) (t) es la confiabilidad instantánea del elemento i en el periodo n de inspección.

m1 y m2 son factores de mejora debido a los tipos de mantenimiento seleccionados.

La ec. 1 implica que la confiabilidad del componente al comienzo del periodo n es igual a la confiabilidad al final del periodo n − 1 más una contribución como resultado de la acción de mantenimiento realizada en el periodo actual. La confiabilidad del componente i al comienzo del periodo n se sustituye en la ec. 2, y se obtiene la función de confiabilidad del componente i, que se debe considerar durante el periodo n [6].

Los tipos de acciones de mantenimiento tienen efectos diferentes en la confiabilidad del elemento, pero cada uno de ellos implica costos y recursos distintos. En general, mientras aumenta la confiabilidad del elemento, mayor es el costo de la acción. El costo total C_M debido a las acciones del mantenimiento, en el PM planteado se calculan como:

Ecuación 3

Donde:

X_in: vector de decisión, 1 si se realiza mantenimiento tipo 1 al componente i en la inspección n; 0 en otro caso.

Y_in: vector de decisión, 1 si se realiza mantenimiento tipo 2 al componente i en la inspección n; 0 en otro caso.

Z_in: vector de decisión, 1 si se realiza mantenimiento tipo 3 al componente i en la inspección n; 0 en otro caso.

C_i^T1: costo de mantenimiento tipo 1 del componente i.

C_i^T2: costo de mantenimiento tipo 2 del componente i.

C_i^T3: costo de mantenimiento tipo 3 del componente i.

N: número de inspecciones durante el horizonte de planificación T.

I: número total de elementos del sistema.

Adicionalmente, se considera el costo asociado a la falla del sistema. A lo largo del horizonte de planificación T, la probabilidad de falla del sistema puede definirse como 1 − Rsist, donde Rsist es la confiabilidad del sistema. De forma similar a lo planteado en [6], los costos asociados de falla del sistema son:

Ecuación 4

Donde:

C^fsist: costo fijo de falla del sistema.

R_t^sist: confiabilidad del sistema en el instante t.

R_(t-1)^sist: confiabilidad del sistema en el instante t − 1.

En los trabajos revisados, la estructura de los sistemas considerados son sistemas serie, sistemas paralelo, sistemas paralelo-serie y sistemas tipo k-out-of-N. En estos es posible obtener de forma analítica la función de confiabilidad del sistema. Entonces el cálculo de la confiabilidad y su optimización consiste en evaluar directamente esta función explícita de la confiabilidad del sistema. Por lo general, se supone que el criterio de operación es el de continuidad, existencia de al menos un camino entre un nodo fuente y un nodo terminal.

Sin embargo, hay sistemas que no pueden clasificarse en las categorías mencionadas, es decir, sistemas a los cuales no puede asociársele de forma explícita una función de confiabilidad y, por tanto, debe ser estimada. Un enfoque generalmente utilizado para esta estimación consiste en usar la simulación de Monte Carlo (SMC): se evalúa si el sistema funciona o no, a partir de la generación aleatoria de estados de operación o falla de cada elemento. Cada estado se determina según la probabilidad de falla asociada a cada elemento y para cada tiempo. El proceso cuantifica el número de veces que el sistema funciona de forma correcta y estima la confiabilidad del sistema como la relación del número de veces que el sistema funciona sobre el número de experimentos totales de la simulación. Este proceso se repite para cada valor de tiempo, en cada periodo [39].

Para aplicar este enfoque, que permite también estimar la confiabilidad de sistemas con configuración tipo: serie, paralelo o serie-paralelo, como las mencionadas en [25]-[33], solo es necesario definir una estructura que permita la evaluación funcional del sistema.

En este trabajo se supone que el criterio de desempeño del sistema, esto es, la función que define si el sistema opera o no, corresponde a la carga que el sistema puede suministrar, en cada instante.

Para evaluar la condición de operación o falla del sistema, se emplea el flujo máximo del sistema [40], que consiste en evaluar el máximo flujo que puede ser transportado de un nodo fuente s a un nodo terminal t, considerando las capacidades de transmisión que cada elemento posee. Si el flujo máximo es mayor o igual a un flujo predeterminado, se considera que el sistema opera de forma correcta; si el flujo es menor, se considera el sistema fallado.

En el caso de sistemas con múltiples fuentes o múltiples terminales, se extiende el método del flujo máximo de acuerdo con lo descrito en [41]:

• Cada nodo fuente tiene una capacidad de suministro y cada nodo terminal tiene una carga.

• Todos los nodos fuente están conectados a un supernodo fuente s. La capacidad del enlace entre el nodo s y cualquier nodo de capacidad gi corresponde a la capacidad neta del nodo gi.

• Todos los nodos terminales están conectados al supernodo terminal t. La capacidad entre un nodo terminal ui y t corresponde a la carga neta del nodo ui.

• La carga total que puede suministrar la red es equivalente al flujo máximo entre s y t.

La confiabilidad del sistema se evalúa mediante el procedimiento para evaluación de confiabilidad aproximada mediante SMC, que se muestra a continuación, donde G(V,E,K) es el grafo con el cual se modela el sistema para la evaluación del flujo máximo, con V = conjunto de nodos del sistema (puntos de conexión de los elementos), E =  conjunto de elementos (que conecta desde un Vi hasta Vj) y K = conjunto de capacidades de flujo de cada uno de los elementos Ei. Ri es el valor de la confiabilidad del elemento i, en un determinado tiempo; Nsimul es el número de muestras que se van a considerar, y Flujo_consigna es el valor mínimo de flujo transportado para considerar operativo el sistema.

Procedimiento para evaluación de confiabilidad aproximada mediante SMC

Inputs: G(V,E,K), Ri, Nsimul, Flujo_consigna, s, t.

Outputs: Rsist confiabilidad aproximada del sistema.

Inicialice Cont = 0.

Genere un vector de probabilidades aleatorio Wi con distribución U(0,1) de longitud |E|.

Hacer K_temp^i = Ki #K_temp^i capacidades temporales de cada enlace i.

Si Wi > Ri, K_temp^i = 0.

Evalúe el flujo máximo entre los supernodos s y t, a partir de G(V,E,Ktemp). Si flujo máximo ≥ Flujo_consigna, entonces Cont = Cont + 1

Repetir 2-5 Nsimul veces.

Determine la confiabilidad del sistema: Rsist = Cont/Nsimul.

Fin del procedimiento

De acuerdo con las definiciones anteriores, el modelo que se va a optimizar está compuesto por:

Ecuación 5

El modelo plantea la optimización de dos objetivos contrapuestos. El primero corresponde a la minimización del costo asociado al PM: CT está compuesto por la suma de los costos CM (ec. 3) y CF (ec. 4).

El segundo objetivo corresponde a la maximización del valor mínimo de la confiabilidad del sistema en el horizonte planteado para el PM. Para ello se evalúa la confiabilidad del sistema a partir del procedimiento para evaluación de confiabilidad aproximada mediante SMC, considerando las estrategias de mantenimiento para cada elemento que conforman el PM.

El problema planteado es básicamente un problema combinatorio en el que, para cada periodo, es necesario evaluar 4^I combinaciones de posibles esquemas de mantenimiento. Dependiendo del valor de I (número de componentes en el sistema), el número de evaluaciones puede ser, computacionalmente hablando, prohibitivo. Es importante recordar que cada evaluación de una posible configuración requiere a su vez la estimación de la confiabilidad.

Por esto, se propone un esquema heurístico de búsqueda de soluciones, basado en estrategias evolutivas, que proporcionan una aproximación al conjunto de Pareto. Se ha seleccionado el algoritmo NSGA-II [42] como heurística de búsqueda, ya que es un algoritmo que se adapta a problemas que no tienen una función objetivo explícita (por ejemplo, los resultados de las SMC) [41]. El procedimiento de NSGA-II no garantiza encontrar una solución óptima al problema (como ninguna heurística), pero comparaciones realizadas en sistemas de prueba con funciones analíticas han demostrado que este tipo de algoritmo encuentra soluciones muy aproximadas a la exacta [42], [43], que aproximan adecuadamente el frente de Pareto óptimo. La implementación usada en este trabajo (paquete mco del software libre R) requiere la definición de solo dos parámetros, referidos al número de generaciones (gen) y al tamaño de la población (pop). El frente de Pareto es aproximado con (gen + 1) * (pop + 1) evaluaciones del modelo biobjetivo.

El algoritmo NSGA-II ha sido utilizado en algunos trabajos relacionados con el PM [44]-[47], de diversas áreas, como sistemas eléctricos de potencia, producción de partes y rehabilitación de carreteras. NSGA-II es un algoritmo elitista, de manera que en cada nueva generación se conservan los mejores individuos encontrados (esto se logra combinando en cada generación la población de padres con la población de hijo, de forma que compitan entre sí para pasar a la siguiente generación). El NSGA-II emplea una jerarquización de Pareto implementada eficientemente e incluye un mecanismo para la preservación de diversidad [48].

El lector interesado puede profundizar en el algoritmo seleccionado revisando los siguientes trabajos [42], [49].

El horizonte de planificación del mantenimiento es de T = 3000 ut (unidades de tiempo) y se considera que las acciones de mantenimiento pueden ejecutarse en periodos discretos, cada tp = 500 ut.

Se asume que todos los elementos son idénticos, con parámetros de la distribución de Weibull β = 2,5 y σ = 4000. Los factores de mejora, de acuerdo con los tipos de acciones de mantenimiento, también se suponen iguales para todos los elementos, con valores de m1 = 0,8 y m2 = 0,5.

Los costos asociados al tipo de acciones de mantenimiento se suponen iguales para todos los elementos: C_i^T3=40 um (unidades monetarias), C_i^T2=0,6*C_i^T3 y C_i^T1=0,3*C_i^T3. El costo fijo de falla del sistema se supone en C^fsist=0,05 um.

Para evaluar la confiabilidad del sistema mediante el procedimiento descrito en 1.3, el número de evaluaciones es de Nsimul = 500, y el flujo meta es el flujo base del sistema en condiciones normales, esto es, Flujo_consigna = 25.

La evaluación del flujo máximo se realiza con el procedimiento de la biblioteca igraph del software libre R. Así mismo, la optimización multiobjetivo se realiza mediante el algoritmo NSGA-II, rutina de la biblioteca mco del mencionado software. Se utilizan los parámetros por defecto de la rutina, ajustando únicamente los referidos al número de generaciones (gen = 40) y al tamaño de la población (pop = 24). A manera referencial, el tiempo de cómputo para este caso fue de 44 minutos, en un computador Intel Pentium G860@3 Ghz y 4 GB RAM. Casi el 90 % del tiempo de cómputo está asociado a la estimación de la confiabilidad.

Los resultados obtenidos pueden observarse en las figuras 3, 4 y 5. La figura 3 muestra la frontera de Pareto aproximada con las posibles soluciones, donde se constata el compromiso existente entre ambos objetivos: mejorar la confiabilidad del sistema, implica incrementar los costos de mantenimiento.

Figura 3

En la figura 4 se han seleccionado tres estrategias de PM, las cuales representan: la estrategia de mayor confiabilidad (S#2), la estrategia de menor confiabilidad (S#1) y una estrategia de confiabilidad media (S#6). Las estrategias S#2 y S#1 se encuentran detalladas en la tabla 1.

Figura 4

Por otra parte, la Figura 5 muestra la confiabilidad del sistema (Rsist) durante el horizonte de tiempo del PM, para cada una de las estrategias encontradas.

Figura 5

El seleccionar una solución corresponde a una decisión que valore y contraste, adecuadamente, la relación entre los costos y la confiabilidad del sistema.

En la tabla 1 se escogieron las tres mejores y las tres peores estrategias, teniendo en cuenta la confiabilidad del sistema como criterio. Nótese cómo para las mejores estrategias, en los elementos 1-3, 2-3 y 4-7 hay mayor frecuencia de mantenimiento y tipo de mantenimiento con máxima mejora (tipo 3). Esto significa que estos elementos se consideran importantes para el sistema, ya que requieren mayores intervenciones. Por otra parte, las estrategias con menor confiabilidad realizan escasas intervenciones de mantenimiento en los elementos.

Tabla 1

Es importante resaltar que los elementos donde se centran los recursos de mantenimiento (1-3, 2-3 y 4-7) coinciden con los considerados más importantes por el método de cortes mínimos para evaluación de confiabilidad, mostrado en [50].

En este caso se consideran costos de mantenimiento diferente para los elementos del sistema. Los sistemas eléctricos de potencia ocupan grandes extensiones de territorio y, por tanto, la ubicación de sus elementos es dispersa desde el punto de vista geográfico. En el mantenimiento de las cadenas de aisladores de sus líneas de transmisión debe considerarse el traslado al sitio [58], lo cual implica costos distintos según distancias, equipos utilizados, entre otros aspectos. Para ilustrar esta situación, se varían los costos asociados al tipo de acciones de mantenimiento C_x^T3=90 um donde x son las líneas de transmisión 1-2, 1-3, 2-3, 2-4; C_x^T3=40 um para x en 3-5, 3-6, 5-6 y C_x^T3=20 um con x 4-5, 4-7, 6-7. Para los tres grupos se cumple que C_x^T2=0,6*C_x^T3 y C_x^T1=0,3*C_x^T3. El resto de los parámetros del caso 1 permanece igual. El tiempo de cómputo para este caso fue de 42 minutos.

En la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se observa el frente de Pareto aproximado para esta condición; los costos de las soluciones, como es de esperar, se incrementan, debido al incremento de los costos de mantenimiento a los elementos.

Por ejemplo, la mejor solución en cuanto a confiabilidad S#1 —resaltada en color negro en la figura 6—¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., con el valor de los objetivos de esta solución son Rsist = 0,98 y CT = 1489,87, y la estrategia por elementos es como sigue {Elemento/Tipo de mantenimiento/Periodo del mantenimiento}: {1-2/ T2/ 2500}, {1-3/ T3/ 500}, {2-4/ T3/ 500}, {3-4/ T1/ 2500}, {3-6/ T3/ 2000}, {5-6/ T2/ 1500}, {4-7/ T3/ 500}, {6-7/ T3/ 500}. En los elementos 3-5 y 4-5 no se considera mantenimiento en esta estrategia. Las otras dos curvas mostradas en la figura 7 representan: estrategia de menor confiabilidad (S#2) en color rojo y estrategia de confiabilidad media (S#16) en color azul.

Figura 8

Figura 9

En la Figura 11 se muestran los valores de Rsist de todas las soluciones pertenecientes al Pareto de la figura 10.

Figura 11

Si se consideran los efectos de cada mantenimiento sobre cada elemento de forma individual y se analiza el comportamiento de la confiabilidad del elemento, como se muestra en la figura 12, puede notarse cómo los elementos que implican menor costo 4-7, 5-6, 3-6 y 6-7 han incrementado la frecuencia de mantenimiento (respecto al caso 1), o bien el tipo de mejora. Para este caso, con costos de mantenimiento diferente por elementos, el modelo consistentemente incrementa la Rsist, asignando más recursos a los elementos que implican menores costos

Figura 13

Otra consideración que puede evaluarse es el hecho de que los factores de mejora en los mantenimientos no sean iguales para todos los elementos. Esto pudiera estar asociado a diferentes marcas de repuestos o, incluso, a que los equipos encargados de las acciones de mantenimiento no posean la misma destreza, por ejemplo.

Para este caso, se suponen los siguientes valores para m1 y m2: para las líneas de transmisión 1-2, 1-3, 2-3, 2-4, m1 = 0,8 y m2 = 0,5; y para el resto, m1 = 0,6 y m2 = 0,4. El resto de los parámetros se mantienen como en el caso 1.

Bajo estas nuevas premisas, los resultados del modelo indican que en los elementos con menores factores de mejora tiende a incrementarse el tipo de acción de mantenimiento, de T1 a T2 y de T2 a T3, o la frecuencia del mantenimiento en el horizonte de tiempo. El tiempo de cómputo para este caso fue de 45 minutos.

La Figura 14 muestra la confiabilidad de los elementos (1-2, 1-3, 2-3, 2-4) para la mejor solución S#1 (en este caso), esto es, Rsist = 0,97 y CT = 806.

En este caso, el modelo centra la estrategia de mantenimiento en acciones dirigidas a los elementos que presentan mayor oportunidad de mejora (1-2, 1-3, 2-3, 2-4 con m1 = 0,8 y m2 = 0,5) para la confiabilidad del sistema, ya que todos poseen el mismo costo asociado.

Figura 14